Find A^-1:

┌ ┐

│ 1 2 2 │

A = │ 2 0 1 │

│ 2 2 0 │

└ ┘

To manually find the inverse of a 3x3 matrix, there are 5 major steps plus an optional check step where the original matrix "A" is multiplied by the inverse "A^-1" that should result in the Indentity matrix "I".

The identity matrix will have a single diagonal of 3 ones, starting left to right and top to bottom, with all other elements = 0:

┌ ┐

│ 1 0 0 │

I = │ 0 1 0 │

│ 0 0 1 │

└ ┘

Overview of steps:

1. Derive the determinant Det(A) and its inverse Det(A)^-1

of the given matrix "A".

1.1 Apply 6 masks to "A".

1.2 Collect diagonal coefficients

2. Construct minor of "A" (Am) from the determinat of

minors (mx) of "A".

3. Construct cofactor matrix (Acf) from polarity

mapping matrix (Map) applied to Am.

4. Construct adjugate Aadj from the transpose of Acf.

5. Multiply Det(A)^-1 to each element in Aadj to complete A^-1.

•6.

1. Compute Det(A):

Statistics:

Special Setups: 6

Multiplications: 12

Additions/Subtractions: 5

Other: 1

1.1: Use the following 6 element maskings [•] to "A" to isolate the elements of interest:

┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐

│ 1 2 2 │ │ 1 2 2 │ │ 1 2 2 │ │ 1 2 2 │ │ 1 2 2 │ │ 1 2 2 │

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │

│ 2 0 1 │ │ 2 0 1 │ │ 2 0 1 │ │ 2 0 1 │ │ 2 0 1 │ │ 2 0 1 │

│ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │ │

│ 2 2 0 │ │ 2 2 0 │ │ 2 2 0 │ │ 2 2 0 │ │ 2 2 0 │ │ 2 2 0 │

└ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘

┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐

│ 1 • • │ │ • • 2 │ │ • 2 • │ │ 1 • • │ │ • • 2 │ │ • 2 • │

│ • │ │ • │ │ • │ │ │ │ │ │ • │

│ • 0 • │-│ • 0 • │+│ • • • 1 │-│ • • • 1 │+│ 2 • • • │-│ 2 • • • │

│ • │ │ • │ │ │ │ • │ │ • │ │ │

│ • • 0 │ │ 2 • • │ │ 2 • • │ │ • 2 • │ │ • 2 • │ │ • • 0 │

└ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘ └ ┘

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1.2: 1 • 0 • 0 - 2 • 0 • 2 + 2 • 2 • 1 - 1 • 2 • 1 + 2 • 2 • 2 - 2 • 2 • 0

│ ║ │ │ ║ │ │ ║ │ │ ║ │ │ ║ │ │ ║ │

└───╫───┘ ↓ └───╫───┘ ↓ └───╫───┘ ↓ └───╫───┘ ↓ └───╫───┘ ↓ └───╫───┘

0 - 0 + 4 - 2 + 8 - 0

│ │ │ │ │ │

└──────╥──────┘ ↓ └──────╥──────┘ ↓ └──────╥──────┘

0 + 2 + 8

│ ║ │

└───────────────────────────╫───────────────────────────┘

Det = 10

An alternate method of setting up for determinate processing is:

Take first two columns of original matrix and juxtapose them

just to the right, then add an additional original with the

new copied rows:

┌ ┐ ┌ ┐

│ 1 2 2 │ 1 2 │ 1 2 2 │ 1 2

│ │ │ │

│ 2 0 1 │ 2 0 │ 2 0 1 │ 2 0

│ │ │ │

│ 2 2 0 │ 2 2 │ 2 2 0 │ 2 2

└ ┘ └ ┘

Map and isolate as follows:

┌ ┐ ┌ ┐

│ 1 2 2 │ 1 2 │ 1 2 2 │ 1 2

│ │ │ │

│ 2 0 1 │ 2 0 │ 2 0 1 │ 2 0

│ │ │ │

│ 2 2 0 │ 2 2 │ 2 2 0 │ 2 2

└ ┘ └ ┘

┌ ┐ ┌ ┐

│ 1 • • │ • • │ • • 2 │ • •

│ • │ │ • │

│ • 0 • │ • • │ • 0 • │ • •

│ • │ │ • │

│ • • 0 │ • • │ 2 • • │ • •

└ ┘ └ ┘

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

1 • 0 • 0 - 2 • 0 • 2

│ ║ │ │ ║ │

└───╫───┘ ↓ └───╫───┘

0 - 0

│ │

└─────────╥─────────┘

Xdia1 = 0

Process all 3 pair of "X" diagonals (Xdiax)

┌ ┐ ┌ ┐

│ 1 2 2 │ 1 2 │ 1 2 2 │ 1 2

│ │ │ │

│ 2 0 1 │ 2 0 │ 2 0 1 │ 2 0

│ │ │ │

│ 2 2 0 │ 2 2 │ 2 2 0 │ 2 2

└ ┘ └ ┘

┌ ┐ ┌ ┐

│ • 2 • │ • • │ • • • │ 1 •

│ • │ │ •

│ • • 1 │ • • │ • • 1 │ • •

│ • │ • │

│ • • • │ 2 • │ • 2 • │ • •

└ ┘ └ ┘

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

2 • 1 • 2 - 2 • 1 • 1

│ ║ │ │ ║ │

└───╫───┘ ↓ └───╫───┘

4 - 2

│ │

└─────────╥─────────┘

Xdia2 = 2

┌ ┐ ┌ ┐

│ 1 2 2 │ 1 2 │ 1 2 2 │ 1 2

│ │ │ │

│ 2 0 1 │ 2 0 │ 2 0 1 │ 2 0

│ │ │ │

│ 2 2 0 │ 2 2 │ 2 2 0 │ 2 2

└ ┘ └ ┘

┌ ┐ ┌ ┐

│ • • 2 │ • • │ • • • │ • 2

│ • │ │ •

│ • • • │ 2 • │ • • • │ 2 •

│ │ • │ •

│ • • • │ • 2 │ • • 0 │ • •

└ ┘ └ ┘

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

2 • 2 • 2 - 0 • 2 • 2

│ ║ │ │ ║ │

└───╫───┘ ↓ └───╫───┘

8 - 0

│ │

└─────────╥─────────┘

Xdia3 = 8

Det(A) = Xdia1 + Xdia2 + Xdia3 = 0 + 2 + 8 = 10

1.3: Det^-1 = 1/Det(A) = 1/10 = 0.1

2 Construct Am from the 9 minors from A' of A:

Statistics:

Special Setups: 9 Apply 9 unique maskings [•••](A') to A to isolate minors.

Multiplications: 18

Additions/Subtractions: 9

Other: 18 Compute determinant Det(mx) for each 9 minors, Move Det(mx) to Am

Theory of operation:

Select Element RxCy:

┌ ┐

│ [a.a] b.b c.c │

│ │

A = │ d.d e.e f.f │

│ │

│ g.g h.h i.i │

└ ┘

Mask Rx & Cy:

┌ ┐ Minor x of 9

│ [•••] ••• ••• │

│ │

A' = │ ••• e.e f.f │

│ │

│ ••• h.h i.i │

└ ┘

Explanation of Mapping:

For each selected element [a.a],[b.b],...,[i.i] in "A", the corresponding Row(x) and Column(y) Rx&Cy will be masked.

The remaining four unmasked elements will then be transferred to the new 2x2 minor matrix:

┌ ┐

│ e.e f.f │

mx = │ │

│ h.h i.i │

└ ┘

Mask and compute the determinant of the new minor:

┌ ┐ ┌ ┐

│ e.e f.f │ │ e.e f.f │

│ │ │ │

│ h.h i.i │ │ h.h i.i │

└ ┘ └ ┘

┌ ┐ ┌ ┐

│ e.e ••• │ │ ••• f.f │

│ • │-│ • │

│ ••• i.i │ │ h.h ••• │

└ ┘ └ ┘

↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓

e.e • i.i - h.h • f.f

└──╥──┘ ↓ └──╥──┘

n.n - n.n

└───────╥───────┘

Det(mx) = [n.n] → AmRxCx

For the selected element [ ] above, the determinate of the 2x2 minor will then be inserted into the corresponding location determined above. This will be sequentially done for all 9 elements until Am is fully populated.

┌ ┐

│ [n.n] x.x x.x │

│ │

Am = │ x.x x.x x.x │

│ │

│ x.x x.x x.x │

└ ┘

Begin Am construction:

░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░░

░░ Select Element R1C1: ░░ Minor 1 of 9 ░░

░░ ┌ ┐ ░░░░░░░░░░░░░░░░░░

░░ │[-2.0] -2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A = │ 2.0 0.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask R1&C1 based on selected element R1C1: ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ [•••] ••• ••• │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A' = │ ••• 0.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ ••• 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 0.0 1.0 │ ░░

░░ m1 = │ │ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask m1 for determinant computation: ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 0.0 1.0 │ │ 0.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ │ │ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 0.0 ••• │ │ ••• 1.0 │ ░░

░░ │ • │-│ • │ ░░

░░ │ ••• 0.0 │ │ 2.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ░░

░░ 0.0 • 0.0 - 2.0 • 1.0 ░░

░░ └──╥──┘ ↓ └──╥──┘ ░░

░░ 0.0 - 2.0 ░░

░░ └───────╥───────┘ ░░

░░ Det(m1) = [-2.0] → AmR1C1 ░░

░░ ┌───────┘ ░░

░░ ┌ │ ┐ ░░

░░ │[-2.0]┘ x.x x.x │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ Am = │ x.x x.x x.x │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ x.x x.x x.x │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Select Element R1C2: ░░ Minor 2 of 9 ░░

░░ ┌ ┐ ░░░░░░░░░░░░░░░░░░

░░ │ -2.0 [-2.0] 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A = │ 2.0 0.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask R1&C2 based on selected element R1C2: ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ ••• [•••] ••• │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A' = │ 2.0 ••• 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 ••• 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 1.0 │ ░░

░░ m2 = │ │ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask m2 for determinant computation: ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 1.0 │ │ 2.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ │ │ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 ••• │ │ ••• 1.0 │ ░░

░░ │ • │-│ • │ ░░

░░ │ ••• 0.0 │ │ 2.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ░░

░░ 2.0 • 0.0 - 2.0 • 1.0 ░░

░░ └──╥──┘ ↓ └──╥──┘ ░░

░░ 0.0 - 2.0 ░░

░░ └───────╥───────┘ ░░

░░ Det(m2) = [2.0] → AmR1C2 ░░

░░ ┌─┘ ░░

░░ ┌ │ ┐ ░░

░░ │ -2.0 [-2.0]┘ x.x │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ Am = │ x.x x.x x.x │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ x.x x.x x.x │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Select Element R1C3: ░░ Minor 3 of 9 ░░

░░ ┌ ┐ ░░░░░░░░░░░░░░░░░░

░░ │ -2.0 -2.0 [2.0] │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A = │ 2.0 0.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask R1&C3 based on selected element R1C3: ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ ••• ••• [•••] │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A' = │ 2.0 0.0 ••• │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ m3 = │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask m3 for determinant computation: ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ │ │ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 │ │ 2.0 2.0 │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 ••• │ │ ••• 0.0 │ ░░

░░ │ • │-│ • │ ░░

░░ │ ••• 2.0 │ │ 2.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ░░

░░ 2.0 • 2.0 - 2.0 • 0.0 ░░

░░ └──╥──┘ ↓ └──╥──┘ ░░

░░ 4.0 - 0.0 ░░

░░ └───────╥───────┘ ░░

░░ Det(m3) = [4.0] → AmR1C3 ░░

░░ ┌─┘ ░░

░░ ┌ │ ┐ ░░

░░ │ -2.0 -2.0 └[4.0] │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ Am = │ x.x x.x x.x │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ x.x x.x x.x │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Select Element R2C1: ░░ Minor 4 of 9 ░░

░░ ┌ ┐ ░░░░░░░░░░░░░░░░░░

░░ │ -2.0 -2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A = │ [2.0] 0.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask R2&C1 based on selected element R2C1: ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ ••• 2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A' = │ [•••] ••• ••• │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ ••• 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 2.0 │ ░░

░░ m4 = │ │ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask m4 for determinant computation: ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 2.0 │ │ 2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ │ │ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 ••• │ │ ••• 2.0 │ ░░

░░ │ • │-│ • │ ░░

░░ │ ••• 0.0 │ │ 2.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ░░

░░ 2.0 • 0.0 - 2.0 • 2.0 ░░

░░ └──╥──┘ ↓ └──╥──┘ ░░

░░ 0.0 - 4.0 ░░

░░ └───────╥───────┘ ░░

░░ Det(m4) = [-4.0] → AmR2C1 ░░

░░ ┌───────┘ ░░

░░ ┌ │ ┐ ░░

░░ │ -2.0 │-2.0 4.0 │ ░░

░░ │ │ │ ░░

░░ Am = │[-4.0]┘ x.x x.x │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ x.x x.x x.x │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Select Element R2C2: ░░ Minor 5 of 9 ░░

░░ ┌ ┐ ░░░░░░░░░░░░░░░░░░

░░ │ -2.0 -2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A = │ 2.0 [0.0] 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask R2&C2 based on selected element R2C2: ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 ••• 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A' = │ ••• [•••] ••• │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 ••• 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 2.0 │ ░░

░░ m5 = │ │ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask m5 for determinant computation: ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 2.0 │ │ 1.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ │ │ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 ••• │ │ ••• 2.0 │ ░░

░░ │ • │-│ • │ ░░

░░ │ ••• 0.0 │ │ 2.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ░░

░░ 1.0 • 0.0 - 2.0 • 2.0 ░░

░░ └──╥──┘ ↓ └──╥──┘ ░░

░░ 0.0 - 4.0 ░░

░░ └───────╥───────┘ ░░

░░ Det(m5) = [-4.0] → AmR2C2 ░░

░░ ┌─┘ ░░

░░ ┌ │ ┐ ░░

░░ │ -2.0 -2.0 │ 4.0 │ ░░

░░ │ │ │ ░░

░░ Am = │ -4.0 [-4.0]┘ x.x │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ x.x x.x x.x │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Select Element R2C3: ░░ Minor 6 of 9 ░░

░░ ┌ ┐ ░░░░░░░░░░░░░░░░░░

░░ │ -2.0 -2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A = │ 2.0 0.0 [1.0] │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask R2&C3 based on selected element R2C3: ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 2.0 ••• │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A' = │ ••• ••• [•••] │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 2.0 │ ░░

░░ m6 = │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask m6 for determinant computation: ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 2.0 │ │ 1.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 │ │ 2.0 2.0 │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 ••• │ │ ••• 2.0 │ ░░

░░ │ • │-│ • │ ░░

░░ │ ••• 2.0 │ │ 2.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ░░

░░ 1.0 • 2.0 - 2.0 • 2.0 ░░

░░ └──╥──┘ ↓ └──╥──┘ ░░

░░ 2.0 - 4.0 ░░

░░ └───────╥───────┘ ░░

░░ Det(m6) = [-2.0] → AmR2C3 ░░

░░ ┌──┘ ░░

░░ ┌ │ ┐ ░░

░░ │ -2.0 -2.0│ 4.0 │ ░░

░░ │ │ │ ░░

░░ Am = │ -4.0 -4.0└[-2.0] │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ x.x x.x x.x │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Select Element R3C1: ░░ Minor 7 of 9 ░░

░░ ┌ ┐ ░░░░░░░░░░░░░░░░░░

░░ │ -2.0 -2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A = │ 2.0 0.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ [2.0] 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask R3&C1 based on selected element R3C1: ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ ••• 2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A' = │ ••• 0.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ [•••] ••• ••• │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 2.0 │ ░░

░░ m7 = │ │ ░░

░░ │ 0.0 1.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask m7 for determinant computation: ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 2.0 2.0 │ │ 2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ │ │ ░░

░░ │ 0.0 1.0 │ │ 0.0 1.0 │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 ••• │ │ ••• 2.0 │ ░░

░░ │ • │-│ • │ ░░

░░ │ ••• 2.0 │ │ 0.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ░░

░░ 1.0 • 2.0 - 0.0 • 2.0 ░░

░░ └──╥──┘ ↓ └──╥──┘ ░░

░░ 2.0 - 0.0 ░░

░░ └───────╥───────┘ ░░

░░ Det(m7) = [2.0] → AmR3C1 ░░

░░ ┌───────┘ ░░

░░ ┌ │ ┐ ░░

░░ │ -2.0 │-2.0 4.0 │ ░░

░░ │ │ │ ░░

░░ Am = │ -4.0 │-4.0 -2.0 │ ░░

░░ │ │ │ ░░

░░ │ [2.0]┘ x.x x.x │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Select Element R3C2: ░░ Minor 8 of 9 ░░

░░ ┌ ┐ ░░░░░░░░░░░░░░░░░░

░░ │ -2.0 -2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A = │ 2.0 0.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 [2.0] 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask R3&C2 based on selected element R3C2: ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 ••• 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A' = │ 2.0 ••• 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ ••• [•••] ••• │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 2.0 │ ░░

░░ m8 = │ │ ░░

░░ │ 2.0 1.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask m8 for determinant computation: ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 2.0 │ │ 1.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ │ │ ░░

░░ │ 2.0 1.0 │ │ 2.0 1.0 │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 ••• │ │ ••• 2.0 │ ░░

░░ │ • │-│ • │ ░░

░░ │ ••• 1.0 │ │ 2.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ░░

░░ 1.0 • 1.0 - 2.0 • 2.0 ░░

░░ └──╥──┘ ↓ └──╥──┘ ░░

░░ 1.0 - 4.0 ░░

░░ └───────╥───────┘ ░░

░░ Det(m8) = [-3.0] → AmR3C2 ░░

░░ ┌─┘ ░░

░░ ┌ │ ┐ ░░

░░ │ -2.0 -2.0 │ 4.0 │ ░░

░░ │ │ │ ░░

░░ Am = │ -4.0 -4.0 │-2.0 │ ░░

░░ │ │ │ ░░

░░ │ 2.0 [-3.0]┘ x.x │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Select Element R3C3: ░░ Minor 9 of 9 ░░

░░ ┌ ┐ ░░░░░░░░░░░░░░░░░░

░░ │ -2.0 -2.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A = │ 2.0 0.0 1.0 │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ 2.0 2.0 [0.0] │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask R3&C3 based on selected element R3C3: ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 2.0 ••• │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ A' = │ 2.0 0.0 ••• │ ░░

░░ │ │ ░░

░░ │ ••• ••• [•••] │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ░░

░░ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 2.0 │ ░░

░░ m9 = │ │ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ ░░

░░ Mask m9 for determinant computation: ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 2.0 │ │ 1.0 2.0 │ ░░

░░ │ │ │ │ ░░

░░ │ 2.0 0.0 │ │ 2.0 0.0 │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ┌ ┐ ┌ ┐ ░░

░░ │ 1.0 ••• │ │ ••• 2.0 │ ░░

░░ │ • │-│ • │ ░░

░░ │ ••• 0.0 │ │ 2.0 ••• │ ░░

░░ └ ┘ └ ┘ ░░

░░ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ░░

░░ 1.0 • 0.0 - 2.0 • 2.0 ░░

░░ └──┬──┘ ↓ └──┬──┘ ░░

░░ 0.0 - 4.0 ░░

░░ └───────┬───────┘ ░░

░░ Det(m9) = [-4.0] → AmR3C3 ░░

░░ ┌──┘ ░░

░░ ┌ │ ┐ ░░

░░ │ -2.0 -2.0│ 4.0 │ ░░

░░ │ │ │ ░░

░░ Am = │ -4.0 -4.0│ -2.0 │Am Complete! ░░

░░ │ │ │ ░░

░░ │ 2.0 -3.0└[-4.0] │ ░░

░░ └ ┘ ░░

3. Acf = AmR(i)C(j) • MapR(i)C(j)

Statistics:

Special Setups: 1 Apply polarity mask (Map).

Multiplications: 9

Additions/Subtractions: 0

Other: 0

┌ ┐

│ x.x• 1 x.x•-1 x.x• 1 │

│ │

Map = │ x.x•-1 x.x• 1 x.x•-1 │

│ │

│ x.x• 1 x.x•-1 x.x• 1 │

└ ┘

┌ ┐ ┌ ┐

│-2.0• 1 -2.0•-1 4.0• 1 │ │-2.0 2.0 4.0 │

│ │ │ │

Am•Map = │-4.0•-1 -4.0• 1 -2.0•-1 │=│ 4.0 -4.0 2.0 │Acf Complete!

│ │ │ │

│ 2.0• 1 -3.0•-1 -4.0• 1 │ │ 2.0 3.0 -4.0 │

└ ┘ └ ┘

4. Aadj = Acf^T:

Statistics:

Special Setups: 0

Multiplications: 0

Additions/Subtractions: 0

Other: 9 Isolate Row(n) of Acf, transpose to Column(n), place into Aadj.

Select R1:

┌ ┐T

│[-2.0 2.0 4.0]│

│ │

Acf = │ 4.0 -4.0 2.0 │

│ │

│ 2.0 3.0 -4.0 │

└ ┘

Transpose:

┌ ┐

AcfR1 = │ -2.0 2.0 4.0 │ → AadjC1

└ ┘

│ │ │

┌ ┐ │ │

│ -2.0 │ │ │

│ │ │ │

AadjC1 = │ 2.0 │─┘ │

│ │ │

│ 4.0 │──────┘

└ ┘

Insert: ↓

┌ ┐

│ -2.0 x.x x.x │

│ │

Aadj = │ 2.0 x.x x.x │

│ │

│ 4.0 x.x x.x │

└ ┘

Select R2:

┌ ┐

│ -2.0 2.0 4.0 │

│ │

Acf = │ [4.0 -4.0 2.0]│

│ │

│ 2.0 3.0 -4.0 │

└ ┘

Transpose:

┌ ┐

AcfR2 =│ 4.0 -4.0 2.0 │ → AadjC2

└ ┘

│ └───┐│

│ ┌ ┐││

└─│ 4.0 │││

│ │││

AadjC2 = │-4.0 │┘│

│ │ │

│ 2.0 │─┘

└ ┘

Insert: ↓

┌ ┐

│ -2.0 4.0 x.x │

│ │

Aadj = │ 2.0 -4.0 x.x │

│ │

│ 4.0 2.0 x.x │

└ ┘

Select R3:

┌ ┐

│ -2.0 2.0 4.0 │

│ │

Acf = │ 4.0 -4.0 2.0 │

│ │

│ [2.0 3.0 -4.0]│

└ ┘

Transpose:

┌ ┐

AcfR3 = │ 2.0 3.0 -4.0 │ → AadjC3

└ ┘

│ │ └───┐

│ │ ┌ ┐│

└────┼─│ 2.0 ││

│ │ ││

AadjC3 = └─│ 3.0 ││

│ ││

│-4.0 │┘

└ ┘

Insert: ↓

┌ ┐

│ -2.0 4.0 2.0 │

│ │

Aadj = │ 2.0 -4.0 3.0 │Aadj Complete!

│ │

│ 4.0 2.0 -4.0 │

└ ┘

5. A^-1 = Aadj•det(A)^-1:

Statistics:

Special Setups: 0

Multiplications: 9

Additions/Subtractions: 0

Other: 0

Det(A)^-1 (idt) = 1/10 = 0.1 (From Step 1 above)

┌ ┐

│ x.x•idt x.x•idt x.x•idt │

│ │

Aadj •Det(A)^-1 = │ x.x•idt x.x•idt x.x•idt │

│ │

│ x.x•idt x.x•idt x.x•idt │

└ ┘

┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐

│-2.0 4.0 2.0 │ │-2.0•0.1 4.0•0.1 2.0•0.1 │ │-0.2 0.4 0.2 │

│ │ │ │ │ │

A^-1 = 0.1•│ 2.0 -4.0 3.0 │=│ 2.0•0.1 -4.0•0.1 3.0•0.1 │=│ 0.2 -0.4 0.3 │A^-1 Complete!

│ │ │ │ │ │

│ 4.0 2.0 -4.0 │ │ 4.0•0.1 2.0•0.1 -4.0•0.1 │ │ 0.4 0.2 -0.4 │

└ ┘ └ ┘ └ ┘

•6. A•A^-1:

Generic operation template:

┌ ┐ ┌ ┐ ┌ ┐

│ a b c │ │ j k l │ │[a•j + b•m + c•p][a•k + b•n + c•q][a•l + b•o + c•r]│

│ │ │ │ │ │

│ d e f │•│ m n o │=│[d•j + e•m + f•p][d•k + e•n + f•q][d•l + e•o + f•r]│

│ │ │ │ │ │

│ g h i │ │ p q r │ │[g•j + h•m + i•p][g•k + h•n + i•q][g•l + h•o + i•r]│

└ ┘ └ ┘ └ ┘

A A^-1

┌ ┐ ┌ ┐

│ a b c │ │ j k l │

│ 1.0 2.0 2.0 │ │-0.2 0.4 0.2 │

│ │ │ │

│ d e f │ │ m n o │

│ 2.0 0.0 1.0 │•│ 0.2 -0.4 0.3 │=

│ │ │ │

│ g h i │ │ p q r │

│ 2.0 2.0 0.0 │ │ 0.4 0.2 -0.4 │

└ ┘ └ ┘

A•A^-1

┌ ┐

│[ a • j + b • m + c • p ][ a • k + b • n + c • q ][ a • l + b • o + c • r ]│

│[1.0•-0.2 + 2.0•0.2 + 2.0•0.4][1.0•0.4 + 2.0•-0.4 + 2.0•0.2][1.0•0.2 + 2.0•0.3 + 2.0•-0.4]│

│ │

│[ d • j + e • m + f • p ][ d • k + e • n + f • q ][ d • l + e • o + f • r ]│

=│[2.0•-0.2 + 0.0•0.2 + 1.0•0.4][2.0•0.4 + 0.0•-0.4 + 1.0•0.2][2.0•0.2 + 0.0•0.3 + 1.0•-0.4]│

│ │

│[ g • j + h • m + i • p ][ g • k + h • n + i • q ][ g • l + h • o + i • r ]│

│[2.0•-0.2 + 2.0•0.2 + 0.0•0.4][2.0•0.4 + 2.0•-0.4 + 0.0•0.2][2.0•0.2 + 2.0•0.3 + 0.0•-0.4]│

└ ┘

A•A^-1

┌ ┐

│[-0.2 + 0.4 + 0.8][0.4 - 0.8 + 0.4][0.2 + 0.6 - 0.8]│

│ │

=│[-0.4 + 0.0 + 0.4][0.8 + 0.0 + 0.2][0.4 + 0.0 - 0.4]│

│ │

│[-0.4 + 0.4 + 0.0][0.8 - 0.8 + 0.0][0.4 + 0.6 + 0.0]│

└ ┘

A•A^-1 = I

┌ ┐

│ 1.0 0.0 0.0 │

│ │

=│ 0.0 1.0 0.0 │COMPLETE!!!

│ │

│ 0.0 0.0 1.0 │

└ ┘